Գոլդբախի խնդիր

Գոլդբախի խնդիր (Գոլդբախի ենթադրություն, Էյլերի խնդիրը, Գոլդբախի երկուական խնդիրը) այն պնդումն է, որ ցանկացած զույգ թիվ, սկսած 4-ից, կարող է ներկայացվել երկու պարզ թվերի գումարի տեսքով։

Գոլդբախի խնդիրը մաթեմատիկական հայտնի բաց խնդիր է, Ռիմանի վարկածի հետ միասին այն ընդգրկված է Հիլբերտի խնդիրների ցուցակի 8-րդ տեղում (1900), և այն Հիլբերտի այն սակավաթիվ խնդիրներից է, որոնք մինչև 2021 թվականը շարունակում են մնալ չլուծված։

Այս վարկածի ավելի թույլ տարբերակը Գոլդբախի երրորդական խնդիրն է, ըստ որի՝ ցանկացած կենտ թիվ՝ սկսած 7-ից, կարող է ներկայացվել որպես երեք պարզ թվերի գումար։ Այն ապացուցվել է 2013 թվականին պերուացի մաթեմատիկոս Հարալդ Գելֆգոտի կողմից։ Գոլդբախի երկուական խնդրի պնդման իրավացիությունից ակնհայտորեն հետևում է Գոլդբախ երրորդական խնդրի իրավացիությունը։ Եթե յուրաքանչյուր զույգ թիվ՝ սկսած 4-ից, երկու պարզ թվերի գումար է, ապա յուրաքանչյուր զույգ թվին ավելացնելով 3, կստացվի բոլոր կենտ թվերը՝ սկսած 7-ից։

Պատմություն

Գոլդբախի նամակը Էյլերին, թվագրված է 1742 թվականի հունիսի 7 (լատիներեն - գերմաներեն)^[1]։

1742 թվականին մաթեմատիկոս Քրիստիան Գոլդբախը նամակ է ուղարկել Լեոնարդ էյլերին, որում նա արտահայտել է հետևյալ ենթադրությունը, որ 5-ից մեծ յուրաքանչյուր կենտ թիվ կարող է ներկայացվել երեք պարզ թվերի գումարի տեսքով։ Էյլերը հետաքրքրվեց խնդրով և առաջ քաշեց ավելի ուժեղ վարկած. Յուրաքանչյուր զույգ թիվ, որը գերազանցում է երկուսը, կարող է ներկայացվել որպես երկու պարզ թվերի գումար։ Առաջին պնդոււմը կոչվում է Գոլդբախի երրորդական խնդիր, երկրորդը՝ Գոլդբախի երկուական խնդիր (կամ Էյլերի խնդիր)։

Գոլդբախի երրորդական խնդրին նման, բայց ավելի թույլ վարկած, 1770 թվականին առաջ քաշեց Ուորինգը։ Ըստ որիէ յուրաքանչյուր կենտ թիվ կամ պարզ թիվ է, կամ երեք պարզ թվերի գումար։

Գոլդբախի երրորդական խնդիր

1923 թվականին մաթեմատիկոսներ Հարդին և Լիթլվուդը ցույց տվեցին, որ եթե Ռիմանի վարկածի որոշ ընդհանրացում իրավացի է, ապա Գոլդբախի խնդիրը ճիշտ է բոլոր բավական մեծ կենտ թվերի համար։

1937 թվականին Վինոգրադովը ապացուցել է, որ ցանկացած բավականաչափ մեծ կենտ թիվ կարելի է ներկայացվել որպես երեք պարզ թվերի գումար, անկախ Ռիմանի վարկածի ճշմարտացիությունից։ Ինքը՝ Վինոգրադովը, հստակ գնահատական չի տվել այս «բավական մեծ թվի» համար, բայց նրա ուսանող՝ Կոնստանտին Բորոզդինը ապացուցել է, որ ստորին սահմանը չի գերազանցում 3^3¹⁵ ≈ 3,25×10^{6 846 168} ≈ 10^{6 846 168}։ Այսինքն՝ այս թիվը պարունակում է գրեթե 7 միլիոն թվանշան, ինչը անհնար է դարձնում ուղղակիորեն ստուգել նրանից փոքր բոլոր թվերը։

Հետագայում Վինոգրադովի արդյունքը բազմիցս բարելավվել է, մինչև 1989 թվականին Վանգն ու Չենը իջեցրեցին ստորին սահմանը մինչև^[2]՝e^{e^11,503} ≈ 3,33339×10^{43 000} ≈ 10^{43 000,5}, ինչը այնուամենայնիվ դուրս էր ավելի փոքր թվեր ստուգման սահմաններից։

1997-ին Դեզույեթը, Էֆինգերը, Ռիելեն և Զինովևը^[3] ցույց տվեցին, որ Ռիմանի վարկածի ընդհանրացումից կհետևի Գոլդբախի երրորդական խնդրի իրավացիությունը։ Նրանք ապացուցեցին, որ դա ճիշտ է 10²⁰-ից ավելի մեծ թվերի համար, մինչդեռ փոքր թվերի համար այդ պնդման ճշմարտացիությունը հեշտությամբ հաշվարկվում է համակարգչի օգնությամբ։

2013-ին Գոլդբախի երրորդական վարկածը վերջնկանապես ապացուցեց Հարալդ Գելֆգոտը^[4]^[5]^[6]^[7]։

Գոլդբախի երկուական խնդիր

Գոլդբախի երկուական խնդիրը դեռ հեռու է լուծվելուց։ Վինոգրադովը 1937 թվականին և Թեոդոր Էսթերմանը 1938 թվականին ցույց տվեցին, որ գրեթե բոլոր զույգ թվերը կարող են ներկայացվել որպես երկու պարզ թվերի գումար։ Այդ արդյունքը բարելավվեց 1975 թվականին։ Նրանք ցույց տվեցին, որ կան դրական c և C հաստատուններ այնպես, որ N- ից ոչ ավելի մեծ զույգ թվերի քանակը, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես երկու պարզ թվերի գումար, չի գերազանցում $CN^{1-c}$ ։

1930 թվականին Շնիրելմանը ապացուցել է, որ ցանկացած ամբողջ թիվ կարող է ներկայացվել որպես ոչ ավելի, քան 800000 պարզ թվերի գումար^[8]։ Այս արդյունքը բազմիցս բարելավվեց, օրինակ, 1995 թվականին Օլիվիե Ռամարեն ապացուցեց, որ ցանկացած զույգ թիվ 6-ից ոչ ավելի պարզ թվերի գումար է։

Գոլդբախի երրորդական վարկածի իրավացիությունից (ապացուցված է 2013 թ.) բխում է, որ ցանկացած զույգ թիվ առավելագույնը 4 պարզ թվերի գումար է։ 1966 թվականին Չեն Ցզինժունը ապացուցեց, որ ցանկացած բավականաչափ մեծ զույգ թիվ, որը կարել է ներկայացնել կամ որպես երկու պարզ թվերի գումար, կամ որպես պարզ ու կիսապարզ թվերի գումար (երկու պարզ թվերի արտադրյալ)։ Օրինակ՝ 100 = 23 + 7·11։

2012 թվականի ապրիլի դրությամբ Գոլդբախի երկուական վարկածը ստուգվել է 4×10¹⁸- ը չգերազանցող բոլոր զույգ թվերի համար^[9]։ Եթե Գոլդբախի երկուական վարկածը սխալ է, ապա գոյություն ունի ալգորիթմ, որը վաղ թե ուշ կբացահայտի։ Գոլդբախի երկուական վարկածը կարող է վերաձևակերպվել որպես 4-րդ աստիճանի Դիոֆանտի հավասարման ինչ-որ հատուկ տեսակի անլուծելության մասին պնդում^[10]^[11]։

Մշակույթի մեջ

1992 թվականին լույս է տեսել Ապոստոլոս Դոքսիադիսի «գաղափարների վեպը»՝ «Քեռի Պետրոսը և Գոլդբախի խնդիրը», որը մեծ ճանաչում է ձեռք բերել։ Գովազդային նպատակների համար Faber & Faber հրատարակչությունը միլիոնավոր դոլարներ է խոստացել այն ընթերցողի, ով երկու տարվա ընթացքում, կտա խնդրի լուծումը։ Վեպը թարգմանվել է տասնյակ լեզուներով, իսկ 2002-ին լույս տեսավ գրքի ռուսերեն թարգմանությունը^[12]։ Գոլդբախի խնդիրը 2007-ին թողարկված «Ֆերմայի ծուղակ» ֆիլմի և «Լյուիս» սերիալի օդաչուի (2006 թ.) սյուժեների կարևոր բաղադրիչն է։

Ծանոթագրություններ

↑ Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125—129
↑ J. R. Chen and T. Z. Wang, On the odd Goldbach problem, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702—718. Addendum 34 (1991) 143—144.
↑ Jean-Marc Deshouillers, Gove Effinger Արխիվացված 2012-10-01 Wayback Machine, Herman te Riele Արխիվացված 2012-03-29 Wayback Machine, Dmitrii Zinoviev, A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol. 3, pp. 99 — 104. 1997.
↑ Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…
↑ Major arcs for Goldbach’s theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897
↑ Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013
↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
↑ Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика? — 3-e изд., испр. и доп. — М.։ МЦНМО, 2001.
↑ Weisstein, Eric W., "Goldbach Conjecture", MathWorld.
↑ Yuri Matiyasevich. Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done Արխիվացված 2010-06-13 Wayback Machine.
↑ Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993. […] мы можем переформулировать гипотезу Гольдбаха как утверждение о том, что диофантово уравнение $(2a+4-p_{1}-p_{2})^{2}+\mathbf {P} ^{2}(p_{1},x_{1},\dots ,x_{m})+\mathbf {P} ^{2}(p_{2},y_{1},\dots ,y_{m})=0$ разрешимо относительно $p_{1},p_{2},x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{m}$ при всех значениях параметра $a$
↑ Дядя Петрос и проблема Гольдбаха на сайте Ozon

Գրականություն

«Математическая энциклопедия». М. 1977. Том I, стр. 94, статья «Аддитивные проблемы».
Прахар К. П. Распределение простых чисел. — М.: «Мир», 1967. — 512 с.
Иэн Стюарт Территория простых чисел. Проблема Гольдбаха // Величайшие математические задачи. — М.: «Альпина нон-фикшн», 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1

Արտաքին հղումներ

Коняев, Андрей — О завершении доказательства тернарной проблемы Гольдбаха (2013 թ․ հունիսի 17). «Бог любит троицу» (ռուսերեն). Lenta.ru. Արխիվացված է օրիգինալից 2013 թ․ հունիսի 19-ին. Վերցված է 2016 թ․ հունվարի 21-ին.{{cite web}}: CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link)
Петров С.. Абсолютное программирование. Рекурсия. — пример типичной псевдоматематической попытки доказательства проблемы Гольдбаха методом просеивания.

[1] Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125—129

[2] J. R. Chen and T. Z. Wang, On the odd Goldbach problem, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702—718. Addendum 34 (1991) 143—144.

[3] Jean-Marc Deshouillers, Gove Effinger Արխիվացված 2012-10-01 Wayback Machine, Herman te Riele Արխիվացված 2012-03-29 Wayback Machine, Dmitrii Zinoviev, A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis, Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol. 3, pp. 99 — 104. 1997.

[4] Terence Tao — Google+ — Busy day in analytic number theory; Harald Helfgott has…

[5] Major arcs for Goldbach’s theorem, H. A. Helfgott // arxiv 1305.2897

[6] Goldbach Variations // SciAm blogs, Evelyn Lamb, May 15, 2013

[7] Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory // Science 24 May 2013: Vol. 340 no. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913

[8] Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика? — 3-e изд., испр. и доп. — М.։ МЦНМО, 2001.

[9] Weisstein, Eric W., "Goldbach Conjecture", MathWorld.

[10] Yuri Matiyasevich. Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done Արխիվացված 2010-06-13 Wayback Machine.

[11] Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993. […] мы можем переформулировать гипотезу Гольдбаха как утверждение о том, что диофантово уравнение $(2a+4-p_{1}-p_{2})^{2}+\mathbf {P} ^{2}(p_{1},x_{1},\dots ,x_{m})+\mathbf {P} ^{2}(p_{2},y_{1},\dots ,y_{m})=0$ разрешимо относительно $p_{1},p_{2},x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{m}$ при всех значениях параметра $a$

[12] Дядя Петрос и проблема Гольдбаха на сайте Ozon

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]