Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, տարրական ֆունկցիաներ, որոնք պատմականորեն առաջացել են ուղղանկյուն եռանկյունների ուսումնասիրման ժամանակ և արտահայտել են եռանկյան էջերի կախվածությունը սուր անկյուններից և ներքնաձիգից։ Այս ֆունկցիաները լայն տարածում են գտել գիտության ամենատարբեր բնագավառներում, ինչի արդյունքում ընդլայնվել է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը։ Այժմ արգումենտը կարող է լինել ինչպես կամայական իրական թիվ, այնպես էլ կոմպլեքս թիվ։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները.      սինուս     կոսինուս      տանգենս      կոտանգենս      սեկանս      կոսեկանս

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ուսումնասիրող գիտությունը կոչվում է եռանկյունաչափություն։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ են համարվում՝

ուղիղ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.

• սինուս ($\sin x$)
• կոսինուս ($\cos x$)

ածանցյալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.

• տանգենս ($\mathrm {tg} \,x$)
• կոտանգենս ($\mathrm {ctg} \,x$)

այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.

• սեկանս ($\sec x$)
• կոսեկանս ($\mathrm {cosec} \,x$)

Արևմտյան գրականություն մեջ տանգենսը, կոտանգենսը և կոսեկանսը հաճախ նշանակում են $\tan x,\cot x,\csc x$։
Բացի այս վեց ֆունկցիաներից, գոյություն ունեն նաև հազվադեպ օգտագործվող եռանկյունաչափական որոշ ֆունկցիաներ (վերսինուս և այլն), ինչպես նաև հակառակ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (արկսինուս, արկկոսինուս և այլն)։

Իրական արգումենտի սինուս և կոսինուս ֆունկցիաները պարբերական, անընդհատ և անվերջ դիֆերենցելի իրական ֆունկցիաներ են։ Մյուս չորս ֆունկցիաներն իրական առանցքի վրա նույնպես իրական են, պարբերական են և անվերջ դիֆերենցելի են որոշման տիրույթում, բայց անընդհատ չեն։ Տանգենսը և սեկանսն ունեն երկրորդ կարգի խզումներ $\pm \pi n+{\frac {\pi }{2}}$ կետերում, իսկ կոտանգենսը և կոսեկանսը՝ $\pm \pi n$ կետերում։

Անվանումների պատմություն

Հիմնական հոդված՝ Եռանկյունաչափության պատմություն

«Եռանկյունաչափություն» տերմինը որպես մաթեմատիկական դիսցիպլին ներմուծել է գերմանացի մաթեմատիկոս Պիտիսկուսը իր 1595 թվականին հրապարակված «Եռանկյունաչափություն, կամ համառոտ ու պարզ աշխատություն եռանկյունների լուծման մասին» (լատին․՝ Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus) գրքում։ 17-րդ դարի վերջում ի հայտ եկան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ժամանակակից անվանումները ։ «Սինուս» եզրույթն առաջին անգամ մոտավորապես 1145 թվականին օգտագործել է անգլիացի մաթեմատիկոս ու արաբագետ Ռոբերտ Չեստերսկին։ Ռեգիոմոնտանն իր աշխատությունում կոսինուսն անվանել է «լրացման սինուս» (լատին․՝ sinus complementi), քանի որ $~\cos x=\sin(90^{\circ }-x)$; նրա հետևորդները 17-րդ դարում այդ անվանումը կրճատեցոին ու դարձրին co-sinus (Էդմունդ Հունթեր), իսկ ավելի ուշ՝ cos (Ուիլիամ Օտրեդ)։ Տանգենսի ու սեկանսի անվանումները 1583 թվականին առաջարկել է դանիացի մաթեմատիկոս Թոմաս Ֆինկը (անգլ.՝ Thomas Fincke), իսկ վերոնշյալ Էդմունդ Գունտերը ներմուծել է կոտանգենսի ու կոսեկանսի անվանումները։ «Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ» եզրույթն առաջին անգամ օգտագործել է Գեորդ Սիմոն Կլյուգելը իր «Անալիտիկ եռանկյունաչափություն» (1770) աշխատությունում։

Տանգենս և սեկանս տերմիններն առաջին անգամ օգտագործել է դանիացի մաթեմատիկոս Տոմաս Ֆինկեն իր «Կլորի երկրաչափություն» գրքում (Geometria rotundi, 1583)։

Ներկայացման մեթոդները

Երկրաչափական մեթոդ

Նկ. 1 Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի որոշումը

Նկ. 2 Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, R=1

Սովորաբար եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներկայացվում են երկրաչափորեն։ Դիցուք, հարթության վրա մեզ տրված է դեկարտյան կոորդինատական համակարգը, և կառուցված է $R$ շառավղով շրջանագիծ, որի կենտրոնը գտնվում է կոորդինատների $O$ սկզբնակետում։ Չափենք անկյունները որպես աբսցիսների առանցքի դրական ուղղությամբ պտույտներ մինչև $OB$ ճառագայթը։ Ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությունը համարվում է դրական, իսկ ժամացույցի սլաքինը՝ բացասական։ $B$ կետի աբսցիսը նշանակենք $x_{B}$, իսկ օրդինատը նշանակենք $y_{B}$ (տես Նկ. 1)։

• Սինուս կոչվում է հետևյալ հարաբերությունը՝ $\sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}:$
• Կոսինուս կոչվում հետևյալ հարաբերությունը՝ $\cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}:$
• տանգենսը որոշվում է՝ $\operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}:$
• Կոտանգենսը որոշվում է՝ $\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}:$
• Սեկանսը որոշվում է՝ $\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x_{B}}}:$
• Կոսեկանսը որոշվում է՝ $\operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}:$

Ակնհայտ է, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը կախված չէ շրջանագծի $R$ շառավղի մեծությունից, համաձայն նման պատկերների հատկությունների։ Հաճախ այդ շառավղի արժեքը ընդունում են հավաար միավոր հատվածի մեծությանը։ Այս դեպքում սինուսի արժեքը ուղղակի հավասար է $y_{B}$ օրդինատին, իսկ կոսինուսը՝ $x_{B}$ աբսցիսը։ Նկար 2-ում ցույց է տրված միավոր շառավիղ ունեցող եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները։
Եթե $\alpha$-ն իրական թիվ է, ապա $\alpha$-ի սինուսը մաթեմատիկական անալիզում կոչվում է անկյան սինուս, որի ռադիանային մեծությունը հավասար է $\alpha$-ի, նման ձևով նաև մյուս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիայի որոշումը սուր անկյան մեթոդով

Նկ. 3 Եռանյունաչափական ֆունկցիայի հաշվում սուր անկյունով

Բոլոր տարրական երկրաչափության դասագրքերում մինչ օրս սուր անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիան հաշվվում է որպես ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերությունը։ Դիցուք $OAB$-ն ուղղանկյուն եռանկյուն է $\alpha$ անկյունով (տես Նկ. 3)։ Այդ դեպքում՝

• $\alpha$ անկյան սինուսը կոչվում է ${\frac {AB}{OB}}$ հարաբերությունը (դիմացի էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին)։
• $\alpha$ անկյան կոսինուսը կոչվում է ${\frac {OA}{OB}}$ հարաբերությունը (կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին)։
• $\alpha$ անկյան տանգենս կոչվում է ${\frac {AB}{OA}}$ հարաբերությունը (դիմացի էջի հարաբերությունը կից էջին)։
• $\alpha$ անկյան կոտանգենս կոչվում է ${\frac {OA}{AB}}$ հարաբերությունը (կից էջի հարաբերությունը դիմացի էջին)։
• $\alpha$ անկյան սեկանս կոչվում է ${\frac {OB}{OA}}$ հարաբերությունը (ներքնաձիգի հարաբերությունը կից էջին)։
• $\alpha$ անկյան կոսեկանս կոչվում է ${\frac {OB}{AB}}$ հարաբերությունը (ներքնաձիգի հարաբերությունը դիմացի էջին)։

Կառուցելով $O$ կենտրոնով կոորդինատային հարթություն (աբցիսների առանցքը $OA$-ի ուղղությամբ), անհրաժեշտության դեպքում տեղափոխելով (շրջելով) եռանկյունը, այնպես որ այն հայտնվի հարթության առաջին քառորդում, կառուցելով շրջանագիծ ներքնաձիգին հավասար շառավիղով, միանգամից տեսնում ենք, որ ֆունկցիայի այս սահմանումը բերում է նույն արդյունքին ինչ որ նախորդը։

Տվյալ սահմանումն ունի որոշակի մեթոդական առավելություն, քանի որ չի պահանջում կոորդինատային համակարգի օգտագործումը, սակայն ունի նաև թերություն՝ հնարավոր չէ որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիաները նույնիսկ այն բութ անկյունների համար, որոնք անհրաժեշտ է իմանալ պարզ երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս։ (տես. Սինուսների թեորեմ, կոսինուսների թեորեմ)

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները $2\pi ~(360^{\circ })$ պարբերական են սինուսի, կոսինուսի, սեկանսի և կոսեկանսի դեպքում, և $\pi ~(180^{\circ })$ պարբերական՝ տանգենսի և կոտանգենսի դեպքում։

Յուրաքանչյուր անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիա կարելի է բերել սուր անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիայի՝ օգտագործելով նրանց պարբերականություն ու բերման բանաձևերը։

Ֆունկցիաների հետազոտումը մաթեմատիկական անալիզում

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը որպես դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումներ

Կոսինուս և սինուս ֆունկցիաները կարելի է որոշել որպես

${\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),$

դիֆերենցիալ հավասարման զույգ (կոսինուս) և կենտ (սինուս) լուծումներ՝ $R(0)=1$ (կոսինուսի համար) և $R'(0)=1$ (սինուսի համար) լրացուցիչ պայմաններով, այսինքն՝ որպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիա, որի երկրորդ ածանցյալը հավասար է հենց ֆունկցիային՝ մինուս նշանով․

$\ \left(\cos x\right)''+=-\cos x,$

$\ \left(\sin x\right)''=-\sin x.$

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը որպես ֆունկցիոնալ հավասարումների լուծումներ

Կոսինուս և սինուս ֆունկցիաները կարելի է որոշել որպես

$\left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)\end{array}}\right.$

ֆունկցիոնալ հավասարումների համակարգի լուծումներ ($f$ и $g$ համապատասխանաբար)

$f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,$ $g(\pi /2)=1,$ և $0<g(x)<1$ $0<x<\pi /2$ լրացուցիչ պայմանների դեպքում։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների որոշումը շարքերի միջոցով

Օգտագործելով երկրաչափությունն ու սահմանների հատկությունները՝ կարելի է ապացուցել, որ սինուսի ածանցյալը հավասար է կոսինուսի, իսկ կոսինուսի ածանցյալը հավասար է մինուս սինուսի։ Այդ ժամանակ կարելի է օգտվել Թեյլորի շարքերի տեսությունից՝ սինուսն ու կոսինուսը ներկայացնել աստիճանային շարքերի տեսքով.

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.$

Օգտվելով այս բանաձևերից և $\operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},$ $\operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},$ $\sec x={\frac {1}{\cos x}}$ , $\operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},$ հավասարումներից, կարելի է գտնել նաև մյուս եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերլուծությունը շարքի տեսքով.

${\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}$

${\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}$

${\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|E_{n}|}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}$

$\operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),$

Ածանցյալներ և ինտեգրալներ

Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները անընդհատ և անսահմանափակ ածանցելի են իրենց որոշման ամբողջ տիրույթում։

$(\sin x)'=\cos x\,,$

$(\cos x)'=-\sin x\,,$

$(\mathop {\operatorname {tg} } \,x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}},$

$(\mathop {\operatorname {ctg} } \,x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}},$

$(\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}},$

$(\operatorname {cosec} ~x)'=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}.$

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալները որոշման տիրույթում արտահայտվում են տարրական ֆունկցիաների միջոցով հետևյալ կերպ.

$\int \sin x\,dx=-\cos x+C\,,$

$\int \cos x\,dx=\sin x+C\,,$

$\int \mathop {\operatorname {tg} } \,x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C\,,$

$\int \mathop {\operatorname {ctg} } \,x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C\,,$

$\int \sec x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \,\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|+C\,,$

$\int \operatorname {cosec} ~x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \,{\frac {x}{2}}\right|+C.$

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկություններ

Պարզագույն նույնություններ

Հիմնական հոդված՝ Եռանկյունաչափական նույնություններ

Քանի որ միավոր շրջանագծի վրա գտնվող կետի սինուսը և կոսինուսը հանդիսանում են համապատասխանաբար $\alpha$ անկյան օրդինատը և աբսցիսը, հետևաբար, համաձայն Պյութագորասի թեորեմի ունենք՝

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.\,$

Այս արտահայտությունը կոչվում է հիմնական եռանկյունաչափական նույնություն։ Բաժանելով այս հավասարման աջ և ձախ մասերը սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների վրա՝ արդյունքում կստանանք

$1+\mathop {\mathrm {tg} } \,^{2}\alpha ={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }},\,$

$1+\mathop {\mathrm {ctg} } \,^{2}\alpha ={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }},\,$

$\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \cdot \mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha =1:$

Զույգություն

Կոսինուս և սեկանս ֆունկցիաները զույգ են, իսկ մյուս ֆունկցիաները՝ կենտ, այսինքն՝

$\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,,$

$\cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,,$

$\mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,,$

$\mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,$

$\sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,$

$\mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,:$

Անընդհատություն

Սինուսը և կոսինուսը անընդհատ ֆունկցիաներ են։ Մյուս ֆունկցիաները անընդհատ չեն։ Տանգենսի և սեկանսի խզման կետերն են $\pm 90^{\circ },\;\pm 270^{\circ },\;\pm 450^{\circ },\;\dots$, իսկ կոտանգենսի և կոսեկանսի խզման կետերն են $0^{\circ },\;\pm 180^{\circ },\;\pm 360^{\circ },\;\dots .:$

Պարբերականություն

$y=\mathop {\mathrm {sin} } \,x,\quad y=\mathop {\mathrm {cos} } \,x,\quad y=\mathop {\mathrm {sec} } \,x,\quad y=\mathop {\mathrm {cosec} } \,x$ ֆունկցիաները պարբերական են $2\pi$ պարբերությամբ, իսկ $y=\mathop {\mathrm {tg} } \,x$ և $y=\mathop {\mathrm {ctg} } \,x$ ֆունկցիաները՝ $\pi$ պարբերությամբ։

Բերման բանաձևեր

Բերման բանաձևեր են կոչվում հետևյալ տեսքի բանաձևերը՝

$f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),\,$

$f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),\,$

$f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),\,$

$f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).\,$

Այստեղ $f$` ցանկացած եռանկյունաչափական ֆունկցիա, $g$` նրան համապատասխան կոֆունկցիա (այսինքն սինուսի համար կոսինուս, կոսինուսի համար սինուս, տանգենսի համար կոտանգենս, կոտանգենսի համար տանգենս, սեկանսի համար կոսեկանս, կոսեկանսի համար սեկանս), n` ամբողջ թիվ է։ Ստացված ֆունկցիայի դիմաց դրվում է այն նշանը, որը ընդունում է ելման ֆունկցիան տրված կոորդիանատային հարթության քարորդում, այն պայմանով, որ α անկյունը միշտ սուր է, օրինակ.

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha \,,$ նույնն է ինչ` $\cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha \,.$

$\beta \,$	${\frac {\pi }{2}}+\alpha$	$\pi +\alpha \,$	${\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha$	${\frac {\pi }{2}}-\alpha$	$\pi -\alpha \,$	${\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha$	$2\,\pi -\alpha$
$\sin \beta \,$	$\cos \alpha \,$	$-\sin \alpha \,$	$-\cos \alpha \,$	$\cos \alpha \,$	$\sin \alpha \,$	$-\cos \alpha \,$	$-\sin \alpha \,$
$\cos \beta \,$	$-\sin \alpha \,$	$-\cos \alpha \,$	$\sin \alpha \,$	$\sin \alpha \,$	$-\cos \alpha \,$	$-\sin \alpha \,$	$\cos \alpha \,$
$\operatorname {tg} \,\beta$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$
$\operatorname {ctg} \,\beta$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-\operatorname {tg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$	$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-\operatorname {ctg} \,\alpha$

Անկյունների գումարի բանաձևեր

Երկու անկյունների գումարի և տարբերության եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները՝

$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \,\cos \beta \pm \cos \alpha \,\sin \beta ,$

$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \,\cos \beta \mp \sin \alpha \,\sin \beta ,$

$\operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \,\alpha \pm \operatorname {tg} \,\beta }{1\mp \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta }},$

$\operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \,\beta \pm \operatorname {ctg} \,\alpha }}:$

Նույն ձևով երեք անկյունների գումարի բանաձևերը ունեն այսպիսի տեսք՝

$\sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,$

$\cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma :$

Բանաձևեր բազմապատիկ անկյունների համար

Կրկնակի անկյան բանաձևերը՝

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},$

$\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},$

$\operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},$

$\operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}:$

Եռակի անկյան բանաձևերը՝

$\sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,$

$\cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,$

$\operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},$

$\operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}:$

Այլ բանաձևեր բազմապատիկ անկյունների համար.

$\sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),$

$\cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,$

$\operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},$

$\operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},$

$\sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,$

$\cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,$

$\operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},$

$\operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},$

$\sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)$ հետևում է Գաուսի բանաձևից։

Մուվրի բանաձևից կարելի է ստանալ բազմապատիկ անկյունների արտահայտման հետևյալ ընդհանուր տեսքը.

$\sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,$

$\cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,$

$\mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},$

$\mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},$

որտեղ $[n]$` $n$ թվի ամբողջ մաս, ${\binom {n}{k}}$` երկանդամային գործակից։

Կես անկյան բանաձևեր`

$\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,$

$\cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,$

$\operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},$

$\operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},$

$\operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,$

$\operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}},\quad 0<\alpha \leqslant \pi .$

Արտադրյալի բանաձևեր

Բանաձևեր երկու անկյունների արտադրյալների համար.

$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}},$

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}},$

$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}},$

$\operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}},$

$\operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}},$

$\operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}}.$

Նպատատիպ բանաձևեր երեք անկյունների սինուսների և կոսինուսների արտադրյալների համար.

$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$

$\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$

$\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$

$\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.$

Աստիճանների բանաձևեր

$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2}}={\frac {\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }}$	$\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatorname {sin} ^{2}\,\alpha }{1-\operatorname {sin} ^{2}\,\alpha }},$
	$\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }},={\frac {\operatorname {cos} ^{2}\,\alpha }{1-\operatorname {cos} ^{2}\,\alpha }},$
$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{4}},$	$\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }},$
$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{4}},$	$\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }},$
$\sin ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{8}},$	$\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}},$
$\cos ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{8}},$	$\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}}.$

Ֆունկցիաների գումարի բանաձևեր

Ֆունկցիաների գումարի բանաձևերը՝

$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}},$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}},$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}},$

$\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }},$

$\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}$

$1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2}:$

Գոյություն ունի ներկայացում.

$A\sin \alpha +B\cos \alpha ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\;\sin(\alpha +\phi ),$

որտեղ $\phi$ անկյունը ստացվում է հետևյալ հարաբերությունից.

$\sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\quad \cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}:$

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտահայտումը տանգենսով

Յուրաքանչյուր եռանկյունաչափական ֆունկցիա կարելի է ներկայացնել կես անկյան տանգենսի միջոցով.

$\sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$

$\cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$

$\operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$

$\operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}$

$\sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$

$\operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}$

Եռնակյունաչափական ֆունկցիաներ կոմպլեքս արգումենտով

Սահմանում

Էյլերի բանաձև ՝ $e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta \,:$

Հնարավորություն է տալիս որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիան կոմպլեքս արգումենտով աստիճանի միջոցով (շարքերի օգնությամբ) կամ նրանց իրական անալոգների անալիտիկ շարունակությամբ՝

$\sin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\,={\frac {\operatorname {sh} iz}{i}},$

$\cos z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\,=\operatorname {ch} iz,$

$\operatorname {tg} \,z={\frac {\sin z}{\cos z}}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}},$

$\operatorname {ctg} \,z={\frac {\cos z}{\sin z}}={\frac {i(e^{iz}+e^{-iz})}{e^{iz}-e^{-iz}}},$

$\sec z={\frac {1}{\cos z}}={\frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}},$

$\operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},\,$ որտեղ $i^{2}=-1:\,$

Համապատասխանաբար, իրական $x$-ի համար.

$\cos x=\operatorname {Re} (e^{ix}),\,$

$\sin x=\operatorname {Im} (e^{ix}):\,$

Կոմպլեքս սինուսը և կոսինուսը սերտ փոխկապակցված են հիպերբոլական ֆունկցիաների հետ.

$\sin(x+iy)=\sin x\,\operatorname {ch} \,y+i\cos x\,\operatorname {sh} \,y,\,$

$\cos(x+iy)=\cos x\,\operatorname {ch} \,y-i\sin x\,\operatorname {sh} \,y:\,$

Թվարկված եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունները հիմնականում պահպանվում են նաև կոմպեքսի դեպքում։ Որոշ լրացուցիչ հատկություններ՝

• կոմպլեքս սինուսը և կոսինուսը, ի տարբերություն իրականների, կարող են ընդունել որքան հնարավոր է շատ մոդուլով արժեքներ,
• կոմպլեքս սինուսի և կոսինուսի բոլոր զրոները գտնվում են իրական առանցքի վրա։

Կոմպլեքս գրաֆիկներ

Հետևյալ գրաֆիկներում պատկերված է կոմպլեքս հարթություն, իսկ ֆունկցիաների արժեքները առանձնացված են գույներով։ Պայծառությունն արտացոլում է բացարձակ արժեքը (սև՝ զրո)։ Գույնը փոխվում է համաձայն քարտեզի։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կոմպլեքս հարթության վրա

$\sin \,z\,$	$\cos \,z\,$	$\operatorname {tg} \,z\,$	$\operatorname {ctg} \,z\,$	$\sec \,z\,$	$\operatorname {cosec} \,z\,$

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները որոշ անկյունների համար

Սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս, սեկանս և կոսեկանսի արժեքները որոշ անկյուների համար բերված են աղյուսակում (${\infty }\,\!$ - նշանակում է, որ ֆունկցիան նշված կետում որոշված չէ, իսկ նրա շրջակայքում ձգտում է անվերջության)։

Նկ. 4 Կոսինուսի և սինուսի արժեքները շրջանագծի վրա

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները որոշ անկյունների համար /Աղյուսակ 1/
$\alpha \,\!$	0°(0 ռադ)	30° ($\pi$/6)	45° ($\pi$/4)	60° ($\pi$/3)	90° ($\pi$/2)	180° ($\pi$)	270° (3$\pi$/2)	360° (2$\pi$)
$\sin \alpha \,\!$	${0}\,\!$	${\frac {1}{2}}\,\!$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!$	${1}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$	${0}\,\!$
$\cos \alpha \,\!$	${1}\,\!$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!$	${\frac {1}{2}}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$	${0}\,\!$	${1}\,\!$
$\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,\!$	${0}\,\!$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!$	${1}\,\!$	${\sqrt {3}}\,\!$	${\infty }\,\!$	${0}\,\!$	${\infty }\,\!$	${0}\,\!$
$\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,\!$	${\infty }\,\!$	${\sqrt {3}}\,\!$	${1}\,\!$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!$	${0}\,\!$	${\infty }\,\!$	${0}\,\!$	${\infty }\,\!$
$\sec \alpha \,\!$	${1}\,\!$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!$	${\sqrt {2}}\,\!$	${2}\,\!$	${\infty }\,\!$	${-1}\,\!$	${\infty }\,\!$	${1}\,\!$
$\operatorname {cosec} \,\alpha \,\!$	${\infty }\,\!$	${2}\,\!$	${\sqrt {2}}\,\!$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!$	${1}\,\!$	${\infty }\,\!$	${-1}\,\!$	${\infty }\,\!$

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները ոչ ստանդարտ անկյունների համար

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները ոչստանդարտ անկյունների համար /Աղյուսակ 2/
$\alpha \,$	${\frac {2\pi }{3}}=120^{\circ }$	${\frac {3\pi }{4}}=135^{\circ }$	${\frac {5\pi }{6}}=150^{\circ }$	${\frac {7\pi }{6}}=210^{\circ }$	${\frac {5\pi }{4}}=225^{\circ }$	${\frac {4\pi }{3}}=240^{\circ }$	${\frac {5\pi }{3}}=300^{\circ }$	${\frac {7\pi }{4}}=315^{\circ }$	${\frac {11\pi }{6}}=330^{\circ }$
$\sin \alpha \,$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$
$\cos \alpha \,$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$
$\operatorname {tg} \,\alpha$	$-{\sqrt {3}}$	${-1}\,\!$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${1}\,\!$	${\sqrt {3}}$	$-{\sqrt {3}}$	${-1}\,\!$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$
$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${-1}\,\!$	$-{\sqrt {3}}$	${\sqrt {3}}$	${1}\,\!$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	${-1}\,\!$	$-{\sqrt {3}}$

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները ոչ ստանդարտ անկյունների համար /Աղյուսակ 3/
$\alpha \,$	${\frac {\pi }{12}}=15^{\circ }$	${\frac {\pi }{10}}=18^{\circ }$	${\frac {\pi }{8}}=22{,}5^{\circ }$	${\frac {\pi }{5}}=36^{\circ }$	${\frac {3\,\pi }{10}}=54^{\circ }$	${\frac {3\,\pi }{8}}=67{,}5^{\circ }$	${\frac {2\,\pi }{5}}=72^{\circ }$	${\frac {5\,\pi }{12}}=75^{\circ }$
$\sin \alpha \,$	${\frac {{\sqrt {3}}-1}{2\,{\sqrt {2}}}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}$	${\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}$	${\frac {{\sqrt {3}}+1}{2\,{\sqrt {2}}}}$
$\cos \alpha \,$	${\frac {{\sqrt {3}}+1}{2\,{\sqrt {2}}}}$	${\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$	${\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {{\sqrt {3}}-1}{2\,{\sqrt {2}}}}$
$\operatorname {tg} \,\alpha$	$2-{\sqrt {3}}$	${\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}$	${\sqrt {2}}-1$	${\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}$	${\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}$	${\sqrt {2}}+1$	${\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}$	$2+{\sqrt {3}}$
$\operatorname {ctg} \,\alpha$	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}$	${\sqrt {2}}+1$	${\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}$	${\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}$	${\sqrt {2}}-1$	${\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}$	$2-{\sqrt {3}}$

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները ուրիշ անկյունների համար  

$\sin {\frac {\pi }{60}}=\cos {\frac {29\,\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }=\cos 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)-2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\cos {\frac {\pi }{60}}=\sin {\frac {29\,\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }=\sin 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 3^{\circ }=\operatorname {ctg} 87^{\circ }={\frac {2({\sqrt {5}}+2)-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)+(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 3^{\circ }=\operatorname {tg} 87^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+2){\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\sin {\frac {\pi }{30}}=\cos {\frac {7\,\pi }{15}}=\sin 6^{\circ }=\cos 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1}{8}},$

$\cos {\frac {\pi }{30}}=\sin {\frac {7\,\pi }{15}}=\cos 6^{\circ }=\sin 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }=\operatorname {ctg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }=\operatorname {tg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)}{2}},$

$\sin {\frac {\pi }{20}}=\cos {\frac {9\,\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }=\cos 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},$

$\cos {\frac {\pi }{20}}=\sin {\frac {9\,\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }=\sin 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }=\operatorname {ctg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }=\operatorname {tg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},$

$\sin {\frac {\pi }{15}}=\cos {\frac {13\,\pi }{30}}=\sin 12^{\circ }=\cos 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}},$

$\cos {\frac {\pi }{15}}=\sin {\frac {13\,\pi }{30}}=\cos 12^{\circ }=\sin 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }=\operatorname {ctg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }=\operatorname {tg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\sin {\frac {7\,\pi }{60}}=\cos {\frac {23\,\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }=\cos 69^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\cos {\frac {7\,\pi }{60}}=\sin {\frac {23\,\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }=\sin 69^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {23\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 21^{\circ }=\operatorname {ctg} 69^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}-2)-{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {23\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 21^{\circ }=\operatorname {tg} 69^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}-2)+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\sin {\frac {2\,\pi }{15}}=\cos {\frac {11\,\pi }{30}}=\sin 24^{\circ }=\cos 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{8}},$

$\cos {\frac {2\,\pi }{15}}=\sin {\frac {11\,\pi }{30}}=\cos 24^{\circ }=\sin 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1+{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {2\,\pi }{15}}=\operatorname {ctg} {\frac {11\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }=\operatorname {ctg} 66^{\circ }={\frac {-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {2\,\pi }{15}}=\operatorname {tg} {\frac {11\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }=\operatorname {tg} 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\sin {\frac {3\,\pi }{20}}=\cos {\frac {7\,\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }=\cos 63^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)+2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}},$

$\cos {\frac {3\,\pi }{20}}=\sin {\frac {7\,\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }=\sin 63^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)+2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {3\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} 27^{\circ }=\operatorname {ctg} 63^{\circ }={{\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {3\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 27^{\circ }=\operatorname {tg} 63^{\circ }={{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}},$

$\sin {\frac {11\,\pi }{60}}=\cos {\frac {19\,\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }=\cos 57^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\cos {\frac {11\,\pi }{60}}=\sin {\frac {19\,\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }=\sin 57^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\operatorname {tg} {\frac {11\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {19\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }=\operatorname {ctg} 57^{\circ }={\frac {-2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {11\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {19\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }=\operatorname {tg} 57^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+2){\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\sin {\frac {13\,\pi }{60}}=\cos {\frac {17\,\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }=\cos 51^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)-2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\cos {\frac {13\,\pi }{60}}=\sin {\frac {17\,\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }=\sin 51^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$

$\operatorname {tg} {\frac {13\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {17\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }=\operatorname {ctg} 51^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}-2)+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {13\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {17\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }=\operatorname {tg} 51^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}-2)-{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$

$\sin {\frac {7\,\pi }{30}}=\cos {\frac {8\,\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }=\cos 48^{\circ }={\frac {-({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}}{8}},$

$\cos {\frac {7\,\pi }{30}}=\sin {\frac {8\,\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }=\sin 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{8}},$

$\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} {\frac {8\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 42^{\circ }=\operatorname {ctg} 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} {\frac {8\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 42^{\circ }=\operatorname {tg} 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}},$

$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{120}}=\operatorname {ctg} {\frac {59\,\pi }{120}}=\operatorname {tg} 1.5^{\circ }=\operatorname {ctg} 88.5^{\circ }={\sqrt {\frac {8-{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}{8+{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}}},$

$\cos {\frac {\pi }{240}}=\sin {\frac {119\,\pi }{240}}=\cos 0.75^{\circ }=\sin 89.25^{\circ }={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})\right)+\right.$ $\left.+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right),$

$\cos {\frac {\pi }{17}}=\sin {\frac {15\,\pi }{34}}={\frac {1}{8}}{\sqrt {2\left(2{\sqrt {3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2(85+19{\sqrt {17}})}}+17}}+{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}+{\sqrt {17}}+15\right)}}.$

Տես նաև

• Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
• Հիպերբոլական ֆունկցիաներ
• Եռանկյունների լուծում

Գրականություն

• Бермант А. Ф. Люстерник Л. А. Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.
• «Советская Энциклопедия», 1977. — Т. 26. — с. 204-206.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
• Выгодский, Марк Яковлевич Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, www.alleng.ru/d/math/math42.htm, 509 стр.
• Двайт Г. Б. {{{заглавие}}}.
• Кожеуров П. А. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
• Маркушевич А. И. Замечательь=Тригонометрические функции|заглавие=Таблицы интегралов и другие математические формулы|издание=4-е изд|место=М.|издательство=Наука|год=1973|страные синусы. — М.: Наука, 1974.
• Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1984. — Т. 5. — с. 436.
• Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика/ Ред. коллегия, Гнеденко Б.В. (гл. ред.), Савин А.П. и др. — М.: Педагогика, 1985 (1989). — С. 299–301–305. — 352 с., ил. ISBN 5-7155-0218-7 (стр. 342 Արխիվացված 2018-02-07 Wayback Machine, 343 Արխիվացված 2018-02-07 Wayback Machine — таблицы тригонометрических функций 0°–90°, в т.ч. в радианах)
• Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений)/ Цыпкин А.Г., под ред. Степанова С.А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240–258. — 480 с.

Արտաքին հղումներ

• GonioLab Արխիվացված 2007-10-06 Wayback Machine — Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ (Java Web Start)
• Weisstein, Eric W., "եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ", MathWorld.
• Օնլայն հաշվիչ։ եռանկյունաչափական ֆունկցղիաների հաշվարկներ
• Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքներ Արխիվացված 2019-08-07 Wayback Machine
• Եռանկյունաչափական աղյուսակներ (0° — 360°)
• «Սինուս և կոսինուս» Արխիվացված 2016-01-29 Wayback Machine — How To Learn Trigonometry Intuitively | BetterExplained (անգլ.)

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 520)։