Էլիպս

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Էլիպս (այլ կիրառումներ)

Ձվածիրը, կամ Էլիպսը երկրաչափական պատկեր է։ Էլիպս է կոչվում հարթության այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնց հեռավորությունների գումարը տրված երկու
$F1$ և $F2$ կետերից հաստատուն է և մեծ է $F_{1}F_{2}$ հատվածի երկարությունից։Այդ հաստատունը կնշանակենք 2a-ով։ $F1$-ը և $F2$-ը կոչվում են էլիպսի ֆոկուսներ, իսկ $F_{1}F_{2}$ հատվածի երկարությունը կնշանակենք 2c-ով, և կանվանենք ֆոկուսային հեռավորություն։

Էլիպսի հավասարումը

Հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգն ընտրենք այնպես, որ Ox առանցքն անցնի $F_{1}$ և $F_{2}$ կետերով, իսկ Oy առանցքը՝ $F_{1}F_{2}$ հատվածի միջնակետով։ Այս դեպքում, ըստ սահմանման, էլիպսի ցանկացած P(x, y) կետի համար՝

P$F_{1}$ + P$F_{2}$ = 2a

Հաշվի առնելով, որ $F_{1}$ կետի կոորդինատներն են $F_{1}$(-c;0) , իսկ $F_{2}$ կետինը $F_{1}$(c;0), երկու կետի հեռավորության բանաձևից ստանում ենք՝

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a$

Սա էլ հենց հանդիսանում է էլիպսի հավասարումը ընտրված կոորդինատային համակարգում։ Փորձենք այն գրել կոմպակտ տեսքով։ Դրա համար երկրորդ գումարելին տեղափոխենք հավասարման աջ մաս և երկու կողմերը բարձրացնենք քառակուսի՝

$~(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+(x-c)^{2}+y^{2}$

Պարզեցումներից հետո ստանում ենք՝

$~(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$

Քանի որ $~a>c$, ապա $~a^{2}-c^{2}$ > 0 ։ Նշանակենք $~b^{2}=a^{2}-c^{2}$, ուստի $b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}$ հետևաբար հավասարումը կընդունի հետևյալ տեսքը՝

$~b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$

կամ

$~{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

որը կոչվում է էլիպսի կանոնական հավասարում ։ Այստեղ 2a-ն և 2b-ն կոչում են էլիպսի համապատասխանաբար մեծ և փոքր առանցքների երկարություններ, իսկ կոորդինատների սկզբնակետը՝ էլիպսի կենտրոն։ $e={\frac {c}{a}}$ թիվը կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիսիտետ ։ Կոորդինատային առանցքների հետ հատման կետերը կոչվում են էլիպսի գագաթներ։

Դիտողություն

Նշենք, որ իրականում մենք ցույց տվեցինք, որ(1) հավասարմանը բավարարող ցանկացած M(x;y) բավարարում է նաև (2) հավասարմանը։ Կարելի է ցույց տալ, որ ճիշտ է նաև հակառակը, այսինքն (2)-ին բավարարող ցանկացած M(x;y) կետ բավարարում է նաև (1)-ին։ Օրինակ։ Գտնել հետևյալ հավասարումով տրված էլիպսի ֆոկուսների հեռավորությունը և էքսցենտրիսիտետը։

$~3x^{2}+4y^{2}=5$

Լուծում

հավասարման երկու մասը բաժանելով 5-ի՝ ստանում ենք

${\frac {x^{2}}{\frac {5}{3}}}+{\frac {y^{2}}{\frac {5}{4}}}=1$

ուստի $a={\sqrt {\frac {5}{3}}}$; $b={\sqrt {\frac {5}{4}}}$ $~{c^{2}}={a^{2}}-{b^{2}}={\frac {5}{3}}-{\frac {5}{4}}={\frac {5}{12}}$ ,$~2c=2{\sqrt {\frac {5}{12}}}$ $e={\sqrt {\frac {5}{12}}}:{\sqrt {\frac {5}{3}}}$ = ${\frac {1}{2}}$ 001

Գրականություն

• Ի․ Պրիվալով "Անալիտիկ երկրաչափություն" Գրքի օնլայն տարբերակը Արխիվացված 2021-08-13 Wayback Machine

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 4, էջ 36)։