Չևայի թեորեմ

ԹԵՈՐԵՄ։ Եթե ABC եռանկյան գագաթներից ելնող АD,BE,CF ուղիղները հատվում են մի կետում կամ իրար զուգահեռ են և նրա AB,BC,CA կողմերը կամ նրանց շարունակությունները հատվում են համապատասխանաբար F,D,E կետերում, ապա

Չևայի թեորեմ, դեպք 1: Երեք ուղիղները հատվում են ABC եռանկյան ներսում։

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.$

ԱՊԱՑՈՒՅՑ

Դիցուք ABC եռանկյան մեջ AD,BE,CF հատվածները հատվում են O կետում։ Նշանակենք $\angle AOE$=$\angle BOD$=α,$\angle COE$=$\angle BOF$=β և $\angle COD$=$\angle AOF$=γ։ Հաշվի առնելով, որ հավասար բարձրություններ ունեցող եռանկյունների հիմքերը հարաբերում են ինչպես նրանց մակերեսները, կունենանք՝

${\frac {EA}{CE}}={\frac {0.5\cdot AO\cdot OE\cdot \sin \angle AOE}{0.5\cdot OE\cdot OC\cdot \sin \angle COE}}.$

${\frac {DC}{BD}}={\frac {0.5\cdot CO\cdot OD\cdot \sin \angle COD}{0.5\cdot OD\cdot OB\cdot \sin \angle AOE}}.$

${\frac {FB}{AF}}={\frac {0.5\cdot BO\cdot OF\cdot \sin \angle COE}{0.5\cdot OF\cdot OA\cdot \sin \angle COD}}.$

Բազմապատկելով այս հավասարությունների համապատասխան մասերը, կստանանք՝

Չևայի թեորեմ, դեպք 2: Երեք ուղիղները հատվում են եռանկյուն ABC-ից դուրս։

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.$

Եթե D,E,F կետերից որևէ երկուսը գտնվեն եռանկյան կողմերի շարունակությունների վրա, ապա թեորեմն ապացուցվում է նույն եղանակով։

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Չևայի թեորեմ» հոդվածին։