Ֆուրիեի շարք

Ֆուրիեի շարք, մաթեմատիկայում պարբերական ֆունկցիայի (որը կարող է լինել որևէ ազդանշան կամ ալիք) վերլուծությունն է ավելի պարզ ֆունկցիաների կամ տատանումների, այն է՝ սինուսոիդների (կամ կոմպսլեքս տեսքով՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալների) վերջավոր կամ անվերջ գումարի տեսքով։ Այդպես է անվանվել ի պատիվ Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժոզեֆ Ֆուրիեի, ով առաջինն է ուսումնասիրել այդ շարքերը ջերմահաղորդականության հավասարման կոնտեքստում։ Ֆուրիեյի շարքերի ուսումնասիրությունը Ֆուրիե-անալիզի ճյուղերից է, որն էլ իր հերթին մաս է կազմում Հարմոնիկ անալիզի։ Դեռ խորհրդային տարիներից Հայաստանում մի խումբ մաթեմատիկոսներ, մասնավորապես՝ ակադեմիկոս Ալեքսանդր Թալալյանը և իր ուսանողները, զբաղվում են Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ։

Սահմանումը

Ենթադրենք $f$-ը որևէ ինտեգրելի $2\pi$-պարբերական ֆունկցիա է՝ որոշված ամբողջ իրական թվային առանցքի վրա։ Մենք ցանկանում ենք այն ներկայացնել որպես հետևյալ տեսքի եռանկյունաչափական շարքի գումար.

$f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}\cdot \sin(nt+\phi _{n}),A_{n}\geq 0$։

Կիրառելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարզագույն հատկությունները՝ շարքը կարելի է ձևափոխել և գրել՝

${\begin{aligned}{\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\overbrace {a_{n}} ^{A_{n}\sin(\phi _{n})}\cos(nt)+\overbrace {b_{n}} ^{A_{n}\cos(\phi _{n})}\sin(nt)\right)\\\end{aligned}}$

տեսքով։ Սակայն երբեմն նախընտրելի է առավել կոմպակտ

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot e^{int}$

ներկայացումը, որը ստացվում է Ֆուրիեյի շարքից՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալի համար

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\$

Էյլերի բանաձևից։

Եթե $f$-ը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերջավոր գումար է, ապա կարելի է հեշտորեն համոզվել (օգտվելով եռանկյունաչափական համակարգի օրթոգոնալությունից), որ $a_{n}$ և $b_{n}$ գործակիցները որոշվում են հետևյալ բանաձևերով.

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cdot \cos({\tfrac {nt}{P}})\ dt$, $b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cdot \sin(nt)\ dt$,

իսկ կոմպլեքս ներկայացմամբ՝

$c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cdot e^{-int}\ dt$

բանաձևով։
Ընդհանուր դեպքում, տվյալ ինտեգրելի $f$ ֆունկցիայի համար կդիտարկենք

${\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos(nt)+b_{n}\sin(nt)\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot e^{int}$

եռանկյունաչափական շարքը, որտեղ $a_{n}$, $b_{n}$ և $c_{n}$ գործակիցները որոշվում են վերը նշված բանաձևերով և այն կանվանենք $f$ ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարք։
Դասական Ֆուրիե-անալիզն ուսումնասիրում է Ֆուրիեի շարքերի զուգամիտությունը և տարամիտությունը, դրանց պայմանները։

Ներկայացում

Ֆունկցիայի եռանկյունաչափական շարքով վերլուծությունը հասկանալու համար դիտարկենք

$f(t)=A\cdot \sin(\lambda t+\phi )$

ֆունկցիան, որտեղ $A\geq 0$։
Սովորաբար $t$-ով նշվում է ժամանակը, իսկ $f(t)$ ֆունկցիան՝ ալիքային տատանումը նկարագրող թվային պարամետրերից որևէ մեկի կախումը ժամանակից։
Վերոնշյալ բանաձևով որոշվող տատանումը կոչվում է հարմոնիկ (ներդաշնակ) տատանում։ Եթե, օրինակ, $f(t)$-ով նկարագրելու լինենք ճոճանակի շեղումը հավասարակշռության դիրքից, ապա այդ կերպ է կտատանվի հավասարակշռության դիրքից շեղված առանց դիմադրության տատանվող ճոճանակը (մաթեմատիկական ճոճանակ)։ Նմանատիպ բանաձևով են որոշվում նաև հավասարաչափ շրջանագծային շարժում կատարող կետի կոորդինատները։
$A$-ն կոչվում է տատանման ամպլիտուդ, $\lambda$-ն՝ հաճախականություն, իսկ $\phi$-ն՝ փուլ (սկզբնական շեղում)։
Եթե երկու ալիք վերադրվում են, արդյունքում ստացված նոր ալիքի տատանումները նկարագրող թվային գործակիցները սովորաբար հավասար են լինում առանձին ալիքների համապատասխան գործակիցների գումարին (վերադրման սկզբունք, տե՛ս w:Superposition principle)։ Հետևաբար, եթե ունենք $N$ տարբեր ներդաշնակ տատանումներ՝

$f_{n}(t)=A_{n}\cdot \sin(\lambda _{n}t+\phi _{n})$,

նրանց վերադրումից առաջացած նոր ալիքի համար կստացվի՝

$f(t)=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cdot \sin(\lambda _{n}t+\phi _{n})$։

Պարզագույն դեպքում, բոլոր $\lambda _{n}$-երը որևէ թվի պատիկներ են, ինչը նշանակում է, որ $f_{n}(t)$-երը ունեն ընդհանուր պարբերություն։ Մասշտաբը փոխելով՝ առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ $\lambda _{n}=n$, այսինքն դիտարկում ենք $2\pi$-պարբերական տատանումները (ընդհանուր դեպքը՝ առանց վերջին ենթադրության, մաթեմատիկայում առանձին ուսումնասիրության առարկա է. տե՛ս w:Almost periodic functions)։ Այդ դեպքում

$f(t)=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cdot \sin(nt+\phi _{n})$։

Նման վերջավոր գումարի միջոցով կարող ենք ներկայացնել բազմաթիվ $2\pi$-պարբերական տատանումներ, սակայն ոչ բոլորը։ Դա հստակ էր անգամ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրության ակունքներում կանգնած մաթեմատիկոսների համար։ Ուստի, հաջորդ բնական քայլը կլիներ փորձել ներկայացնել անվերջ գումարի տեսքով՝

$f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}\cdot \sin(nt+\phi _{n})$։

Սակայն Ֆուրիեյի ժամանակներում ֆունկցիաների անվերջ շարքի գումարը հստակորեն սահմանված չէր. անցավ որոշ ժամանակ, մինչև մաթեմատիկոսներին կհաջողվեր իմաստավորել Ֆուրեի ձևակերպած գաղափարները։ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությունը հետագայում հիմք դարձավ բազմաթիվ նոր մաթեմատիկական տեսությունների և հայտնագործությունների, օրինակ՝ Գեորգ Կանտորի Բազմությունների տեսությունը, որը համարվում է մաթեմատիկայի հիմնարար տեսություներից մեկը։ Բազմությունների տեսությունը ստեղծելի՝ Կանտորը զբաղվում էր Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ։

Երկրաչափական մեկնաբանություն

Նկատենք, որ

$f(t)=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cdot \sin(nt+\phi _{n}),A_{n}\geq 0$

վերջավոր գումարին կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը․ պատկերացնենք՝ ունենք հաջորդական շրջանագծեր, այնպես որ առաջին շրջանագիծն ունի $A_{0}$ շառավիղ, որի կենտրոնը կոորդինական առանցքի սկզբնակետում է։ Հաջորդ շրջանագիծն ունի $A_{1}$ շառավիղ, որի կենտրոնը $(A_{0}\cos(0t+\phi _{0}),A_{0}\sin(0t+\phi _{0}))$ կետում է և այսպես շարունակ (նման նրան, թե ինչպես է Երկիրը պտտվում արեգակի շուրջը, Լուսինն էլ՝ Երկրի)։ Եթե այս շրջանագծերը տեղադրենք «ամեն հաջորդի կենտրոնը մյուսի ընթացիկ կետում» սկզբունքով, ապա վերջին շրջանագծի $\left(A_{N}\cos(Nt+\phi _{N}),A_{N}\sin(Nt+\phi _{N})\right)$ դիրքին համապատասխանող կետի $y$ կոորդինատը $t$ պահին կլինի $f(t)$-ն։

• 
  $f(t)=\operatorname {sgn}[\sin(t)]$ քառակուսային ալիքի Ֆուրեյի շարքի առաջին չորս ոչ զրոյական անդամներով մոտարկումը
• 

Ընդհանրացումներ

Ֆուրիեի շարքերը կարելի է սահմանել ցանկացած պարբերական ֆունկցիայի համար՝ փոխելով մասշտաբը։ Երբ պարբերությունը ձգտում է անվերջության, ինքնըստինքյան հանգում ենք Ֆուրիեի ձևափոխությանը։ Վեջինս Ֆուրիեի շարքերի անալոգն է ոչ պարբերական ֆունկցիաների համար։

Ավելի աբստրակտ մոտեցումը հնարավորություն է տալիս Ֆուրիեյի ձևափոխությունները սահմանել Լոկալ կոմպակտ աբելյան խմբերի վրա։ Մաթեմատիկայի՝ նմանատիպ հարցերն ուսումնասիրող բաժինը կոչվում է Աբստրակտ հարմոնիկ անալիզ։ Ավելի ընդհանուր՝ Ֆուրեյի շարքը կարելի դիտարկել Գելֆանդի ձևափոխություն շրջանագծի պտույտների խմբով ծնված խմբային հանրահաշվի վրա։

Ֆուրիեյի ձևափոխությունը հնարավոր է սահմանել նաև գրաֆների և բազմաձևությունների վրա։ Այստեղ մոտեցումը Լապլաս-Բերտրամի օպերատորի սպեկտրալ տեսության միջոցով է՝ ի տարբերություն Աբստրակտ Հարմոնիկ անալիզի առավել հանրահաշվական մոտեցման։

Մեկ այլ ընդհանրացում է եռանկյունաչափական շարքերի փոխարեն այլ ֆունցկիաներ դիտարկելը։ Քսաներորդ դարի երկրորդ կեսում սա ակտիվ բնագավառ էր և կապված էր համակարգերի բազիսության (հետագայում՝ ֆրեյմ) ուսումնասիրության հետ։

Կիրառություններ

Ժամանակակից տեխնոլոգիաների զարգացումը բազմաթիվ հարցերում պարտական է Ֆուրիեյի հայտնագործությանը։ Այն ժամանակակից ինժեներների ամենկարևոր գործիքներից մեկն է։
Օրինակ, Ռիմանն-Լեբեգի լեմման պնդում է, որ ազդանշանում մեծ հաճախականությունների ներդրումը փոքր է։ Քանի որ մեծ հաճախականությունները պատասխանատու են խզման կետերի համար, նրանց գործակիցները հարմար ձևով ընտրված ֆիլտրերի միջոցով զրոյացնելը հնարավորություն է տալիս մոդիֆիկացնել ֆունկցիան՝ պահպանելով նրա հիմնական մասը և վերացնելով խզման կետերը։ Այս սկզբունքն է ընկած վնասված նկարների կամ ֆայլերի վերակագնման, արխիվացիայի, աղմուկի հեռացման մեթոդների և այլքի հիմքում։ Երբեմն եռանկյունաչափական համակարգի փոխարեն օգտագործվում են այլ համակարգեր, ինչպես օրինակ Վեյվելեթներ, Շիրլեթներ, սակայն հիմնական սկզբունքը նույնն է և հաճախ հանգեցվում է եռանկյունաչափական համակարգով որոշվող հաճախականությունների անալիզին։ Մաթեմատիկայում ևս Ֆուրիեի շարքերն ունեն բազում կիրառություններ, օրինակ՝ մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները լուծման գործում և այլն։

Գրականություն

• Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier analysis, Graduate Texts in Mathematics, vol. 249 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1, MR 2445437
• Grafakos, Loukas (2009), Modern Fourier analysis, Graduate Texts in Mathematics, vol. 250 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09434-2, ISBN 978-0-387-09433-5, MR 2463316
• Zygmund, A. (2002) [1935], Trigonometric series. Vol. I, II, Cambridge Mathematical Library (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3, MR 1963498
• Katznelson, Yitzhak (1976). «An introduction to harmonic analysis» (Second corrected ed.). New York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63331-4. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (օգնություն)
• Nina K. Bary, A treatise on trigonometric series, Vols. I, II. Authorized translation by Margaret F. Mullins. A Pergamon Press Book. The Macmillan Co., New York 1964.
• Körner, T.W. (1988), Fourier Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0521389917

Արտաքին հղումներ

• Գրառումներ Ֆուրիեի ձևոփոխության մասին (անգլ.)

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Ֆուրիեի շարք» հոդվածին։