Բեռնուլիի բազմանդամներ

Բեռնուլիի բազմանդամներ, մաթեմատիկական բազմանդամներ, որոնք անվանել են ի պատիվ շվեյցարացի մաթեմատիկոս Յակոբ Բեռնուլիի։ Դրանք առաջ են եկել հատուկ ֆունկցիաների ուսումնասիրման ժամանակ, մասնավորապես Ռիմանի և Գուրվիցի ζ-ֆունկցիաների ուսումնասիրման ժամանակ։ Նաև հանդիսանում է Ապելի շարքի մասնավոր դեպք։ Ի տարբերություն օրթոգոնալ բազմանդամների, Բեռնուլիի բազմանդամները յուրահատուկ են նրանով, որ արմատների քանակը $\ [0,1]$ միջակայքում կախված չէ բազմանդամի աստիճանի աճից։ Աստիճանի անվերջ աճի դեպքում, Բեռնուլիի բազմանդամը մոտենում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների։

Բեռնուլիի բազմանդամի գրաֆիկ:

Արտահայտություն

Բեռնուլիի$\ B_{n}(x)$ բազմանդամները կարելի է որոշել տարբեր մեթոդներով։

Ակնհայտ տեսք

$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}B_{n-k}x^{k}$, որտեղ $C_{n}^{k}$-ն բինոմային գործակիցն է, $\ B_{k}$-ն՝ Բեռնուլիի թիվ,

Կամ

$B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}:$

Ածանցյալ ֆունկցիա

Բեռնուլիի ածանցյալ ֆունկցիան հետևյալն է՝

${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}:$

Ներկայացումը դիֆերենցիալ օպերատորներով

$B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}$, որտեղ $D$ -ն՝ ֆորմալ դիֆերենցիալ օպերատոր։

Ոչ բարձ աստիճանների համար ակնհայտ տեսք

Բեռնուլիի բազմանդամի մի քանի հարտահայտություններ

$B_{0}(x)=1,$

$B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},$

$B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},$

$B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,$

$B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},$

$B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x,$

$B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.$

Հատկություն

Սկզբնական տվյալներ

Սկզբնական տվյալները Բեռնուլիի բազմանդամի$\ x=0$ համար համավսար են Բեռնուլիի համապատասխան թվերին։

$\ B_{n}(0)=B_{n}$.

Դիֆերենցում և ինտեգրում

Ածանցյալի որոշումը ածանցյալ ֆունկցիայից՝

$te^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}$.

Ձախ մասը տարբերվում է միայն $\ t$ բազմապատկիչով, այդպիսով՝

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}$.

Հավասարացնելով գործակիցները նույն$\ t$ աստիճանի դեպքում, ապա կստանանք՝

${\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!}}$,որտեղից

$\ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)$. (ֆունկցիաները, որոնք բավարարում են նման հատկությանը, անվանում են Ապելի շարք)։

Վերջին հավասարումից հետևում է Բեռնուլիի շարքի ինտեգրման օրենքը։

$\ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt$.

Նույնպես օգտակար հատկություն է հավասարակշռության հատկությունը։

$\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0$ (երբ $n>0$ )

Թեորեմ արգումենտի բազմապատկման մասին

Եթե m-ը կամայական բնական թիվ է, ապա՝

$\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(mx){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {te^{mxt}}{e^{t}-1}}={\frac {1}{m}}e^{mxt}{\frac {mt(1+e^{t}+\cdots +e^{(m-1)t})}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}{\frac {e^{\left(x+{\frac {s}{m}}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)m^{n}}{n!}}t^{n}.$

Այստեղից բխում է արգումենտի բազմապատկման օրենքը՝

$B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)$.

Համաչափություն

$\ B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),$

$\ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}:$

Արտաքին հղումներ

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.